行測容斥問題相對來說是比較容易得分的考點，其本質(zhì)是研究集合間的交叉關(guān)系。不少學(xué)員仍對容斥問題的本質(zhì)不理解，對其公式的應(yīng)用不熟練，對畫圖分析不全面，今天中公教育就帶著大家一起深挖一下容斥問題。

一、知識鋪墊

容斥問題研究的是集合之間的交叉關(guān)系，對于容斥問題的解題原則，中公教育總結(jié)了四個字：“不重不漏”，即“每個區(qū)域的元素只算一次”。

如圖(1)所示，涉及A、B兩個集合之間的交叉關(guān)系，即二者容斥問題，其中：I代表全集;①代表只具備A的屬性的元素個數(shù);②即A∩B代表既具備A的屬性又具備B的屬性的元素個數(shù);③代表只具備B的屬性的元素個數(shù);M代表既不具備A的屬性又不具備B的屬性的元素個數(shù)。“不重不漏”就是把①、②、③及M四個區(qū)域各算一次。

總結(jié)為公式：

如圖(2)所示，涉及A、B、C三個集合之間的交叉關(guān)系，即三者容斥問題，其中：I代表全集;①代表只具備A的屬性的元素個數(shù);②代表只具備B的屬性的元素個數(shù);③代表只具備C的屬性的元素個數(shù);④代表同時具備A和B的屬性但不具備C的屬性的元素個數(shù);⑤代表同時具備A和C的屬性但不具備B的屬性的元素個數(shù);⑥代表同時具備B和C的屬性但不具備A的屬性的元素個數(shù);⑦即A∩B∩C代表同時具備A、B、C的屬性的元素個數(shù);M代表A、B、C的屬性都不具備的元素個數(shù)。“不重不漏”就是把①-⑦及M八個區(qū)域各算一次�？偨Y(jié)為公式：

I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+M

I=A+B+C-(④+⑤+⑥)-2A∩B∩C+M(其中：④+⑤+⑥代表只具備兩種集合屬性的元素個數(shù)之和)

即I=A+B+C-只屬于二者交集-2×只屬于三者交集+M

接下來我們通過兩道例題深入理解。

二、例題展示

【例題1】工廠組織職工參加周末公益勞動，有80%的職工報名參加。其中報名參加周六活動的人數(shù)與報名參加周日活動的人數(shù)比為2：1，兩天的活動都報名參加的人數(shù)為只報名參加周日活動的人數(shù)的50%。問未報名參加活動的人數(shù)是只報名參加周六活動的人數(shù)的：

A.20% B.30% C.40% D.50%

【答案】C

【中公解析】設(shè)兩天的活動都報名參加的人數(shù)為x，則只報名參加周日活動的人數(shù)為2x，由“報名參加周日活動的人數(shù)等于兩天的活動都報名參加的人數(shù)與只報名參加周日活動的人數(shù)之和”，可得報名參加周日活動的人數(shù)為3x，根據(jù)“報名參加周六活動的人數(shù)與報名參加周日活動的人數(shù)比為2：1”，可得報名參加周六活動的人數(shù)為6x，從而只報名參加周六活動的人數(shù)為5x，那么報名參加活動的總?cè)藬?shù)為：2x+5x+x=8x，由于“有80%的職工報名參加”，所以工廠職工總數(shù)為：8x÷80%=10x，那么未報名參加活動的人數(shù)為：10x-8x=2x，所求是：2x÷5x=40%。故答案選C。

【例題2】有100人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項，其中未參加跳遠的有50人，未參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人。問至少有多少人參加了不止一個項目?

A.7 B.10 C.15 D.20

【答案】B

【中公解析】根據(jù)“有100人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項”可知這100人中沒有不參加運動會的人，由“其中未參加跳遠的有50人，未參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人”可分別得出：參加跳遠的有50人，參加跳高的有40人，參加賽跑的有30人。設(shè)只參加兩項的有x人，參加三項的有y人，根據(jù)三者容斥公式可得：50+40+30-x-2y+0=100，解得x+2y=20。所求為：“至少有多少人參加了不止一個項目”，即求的是x+y的最小值。由x+y=20-y，可知要想求出x+y的最小值，就要使y盡可能大，當(dāng)x為0時，y取最大值為10，所以求出x+y的最小值是：20-10=10。故答案選B。

希望各位同學(xué)多加練習(xí)此類題目，中公教育與大家攜手同行，更多解題方法和技巧請持續(xù)關(guān)注中公教育。