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方程法是數(shù)量關(guān)系中基礎(chǔ)解題的方法技巧之一，然而有的時(shí)候，列完方程后，發(fā)現(xiàn)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，一時(shí)間不知該如何求解，其實(shí)這是數(shù)量關(guān)系中常見的考點(diǎn)——不定方程，大家耳熟能詳?shù)氖瞧胀ǚ匠�，運(yùn)用起來(lái)如魚得水，雖然與不定方程只有兩字之差，但結(jié)果卻是千差萬(wàn)別，那不定方程到底“不定”在哪里呢?

定義

不定方程指的是方程或方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)。

例如：3x+4y=25

對(duì)于這個(gè)方程，它的解實(shí)際上是和未知數(shù)的取值范圍有關(guān)的，而在考試中x、y通常都是正整數(shù)，那我們?cè)撊绾吻蟪鰔、y的值呢?通常情況下，如果所求的未知數(shù)就在選項(xiàng)中，則可以將選項(xiàng)代入，滿足方程即為正確答案，但是四個(gè)選項(xiàng)挨個(gè)代入又比較耗費(fèi)時(shí)間，那我們看下在正整數(shù)范圍內(nèi)能否通過(guò)數(shù)字特性先縮小未知數(shù)的取值范圍，之后再將選項(xiàng)代入來(lái)達(dá)到快速求解的目的。

求解方法

1. 整除特性：當(dāng)未知數(shù)前面的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)存在公約數(shù)時(shí)，考慮用整除特性。

例1

小張的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的兩個(gè)乘積加起來(lái)剛好等于900。問(wèn)孩子出生在哪一季度?

A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度

【答案】D。中公解析：根據(jù)題意，設(shè)出生月份為x，出生日期為y，可得29x+24y=900。由于x、y為月份和日期，因此均為整數(shù)，觀察可知24與900都能被12整除，則29x也能被12整除，即x必能被12整除。因x表示月份，故只能為12月份，即第四季度，故本題選擇D。

2. 奇偶性：當(dāng)未知數(shù)前面的系數(shù)奇偶性不同時(shí)，考慮用奇偶性。

例2

辦公室工作人員使用紅、藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個(gè)紅色文件袋可以裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可以裝4份文件。要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍(lán)色文件袋的數(shù)量分別為多少個(gè)?

A.1,6 B.2,4 C.3,2 D.4,1

【答案】C。中公解析：根據(jù)恰好“裝滿”，設(shè)紅、藍(lán)文件袋數(shù)量分別為x、y個(gè)，可得7x+4y=29。由于x、y為文件袋個(gè)數(shù)，因此均為整數(shù)。4y是偶數(shù)，29是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，則7x必是奇數(shù)，即x為奇數(shù)，排除B、D，代入A選項(xiàng)等式不成立，故直接選擇C項(xiàng)。

3. 尾數(shù)法：當(dāng)未知數(shù)前面的系數(shù)為5的倍數(shù)時(shí)，考慮用尾數(shù)法。

例3

有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個(gè)座位，小客車有20個(gè)座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒(méi)有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是多少?

A.1輛 B.2輛 C.3輛 D.4輛

【答案】C。中公解析：根據(jù)每位游客均有座位“且”車上沒(méi)空座位，設(shè)大客車x輛、小客車y輛，可得37x+20y=271，由于x、y為客車輛數(shù)，因此均為整數(shù)。20y的尾數(shù)為0，271的尾數(shù)為1，則37x的尾數(shù)必為1，即x的尾數(shù)為3。只有C選項(xiàng)符合題意，故本題選擇C。

對(duì)于不定方程的題目，未知數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)，我們可以首先考慮用數(shù)字特性來(lái)縮小未知數(shù)的取值范圍，之后再將選項(xiàng)代入，這樣不僅可以大大縮短做題時(shí)間，而且使用起來(lái)也更加方便。

通過(guò)以上題目也不難看出，不定方程的題目難度還是較低的，只要我們掌握了相應(yīng)的解題技巧再加上不斷的練習(xí)，再“不定”的方程我們也能搞定。

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